【人教版】高中数学必修第一册 (A版): 从变量到集合：重新定义函数及其一致性判定

从初中到高中：函数概念的升华
在初中，我们关注的是“变量”随“变量”的变化。然而，Leibniz 最初采用“函数”表示随曲线变化的几何量（坐标、切线等）；Euler 将其定义为变量间的依赖关系；直到 Dirichlet 提出：如果对于 $x$ 的每一个值，$y$ 总有一个完全确定的值与之对应，那么 $y$ 是 $x$ 的函数。这一跨越标志着函数进入了“对应关系”的时代。

思考：比较函数的初中定义与集合定义，你对函数有什么新的认识？

函数的一致性判定： 判定两个函数是否为“同一个函数”，必须同时满足：定义域一致 且 对应关系一致。变量使用的字母（如 $x$ 或 $t$）不影响函数本质。

$$f: A \to B (三要素：定义域 A、值域 C \subseteq B、对应关系 f)$$

QUESTION 1

求函数 $f(x) = \frac{1}{4x+7}$ 的定义域。

$\{x | x \neq -\frac{7}{4}\}$

$\{x | x > -\frac{7}{4}\}$

$\{x | x \in \mathbb{R}\}$

$\{x | x \neq \frac{7}{4}\}$

QUESTION 2

判断下列哪一组中的函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是同一个函数？

$f(x)=x-1, g(x)=\frac{x^2}{x}-1$

$f(x)=x^2, g(x)=(\sqrt{x})^4$

$f(x)=x^2, g(x)=\sqrt[3]{x^6}$

$f(x)=1, g(x)=x^0$

QUESTION 3

求函数 $f(x) = \sqrt{1-x} + \sqrt{x+3}-1$ 的定义域。

$[-3, 1]$

$(-3, 1)$

$(-\infty, 1]$

$[-3, +\infty)$

QUESTION 4

函数 $h=130t-5t^2$ 和 $y=130x-5x^2$ 是否为同一个函数？

是，变量字母不影响函数关系

否，自变量字母不同

否，物理意义不同

无法判断，缺少定义域说明

QUESTION 5

求函数 $f(x)=\frac{\sqrt{4-x}}{x-1}$ 的定义域。

$\{x | x \le 4$ 且 $x \neq 1\}$

$\{x | x < 4$ 且 $x \neq 1\}$

$\{x | x \le 4\}$

$\{x | x \neq 1\}$

QUESTION 6

例3中，下列函数哪个与 $y=x$ 是同一个函数？

$y=(\sqrt{x})^2$

$u=\sqrt[3]{v^3}$

$y=\sqrt{x^2}$

$m=\frac{n^2}{n}$

QUESTION 7

函数 $f(x)=\sqrt{x^5}$ 的定义域是：

$[0, +\infty)$

$(0, +\infty)$

$\mathbb{R}$

$(-\infty, 0]$

QUESTION 8

求 $f(x)=\frac{6}{x^2-3x+2}$ 的定义域。

$\{x | x \neq 1$ 且 $x \neq 2\}$

$\{x | x \neq 1$ 或 $x \neq 2\}$

$\{x | x < 1$ 或 $x > 2\}$

$\{x | 1 < x < 2\}$

QUESTION 9

判定函数图象的依据是：

垂直于 x 轴的直线与图象最多有一个交点

垂直于 y 轴的直线与图象最多有一个交点

图象必须是连续的曲线

图象必须穿过原点

挑战：函数的综合应用与逻辑判定

从模型构建到严格证明

某种杂志原本以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本。据市场调查，杂志的单价每提高 0.1 元，销售量就能减少 2000 本。如何定价才能使提价后的销售总收入不低于 20 万元？

解题步骤：
1. 设提价为 $0.1x$ 元 ($x \ge 0$)，则单价为 $2.5 + 0.1x$ 元，销售量为 $8 - 0.2x$ 万本。
2. 总收入函数 $y = (2.5 + 0.1x)(8 - 0.2x)$。
3. 列不等式：$(2.5 + 0.1x)(8 - 0.2x) \ge 20$。
4. 化简：$20 - 0.5x + 0.8x - 0.02x^2 \ge 20 \Rightarrow 0.3x - 0.02x^2 \ge 0$。
5. 解得 $0 \le x \le 15$。
结论： 提价范围在 $0$ 到 $1.5$ 元之间，即定价在 $2.5$ 到 $4.0$ 元之间。

热带风暴预测：风暴中心在码头南偏东 $45^\circ$ 方向 $600\text{ km}$ 处，以 $20\text{ km/h}$ 向正北移动。影响半径 $450\text{ km}$。多长时间后码头受影响？持续多久？

解题步骤：
1. 建立坐标系，码头为 $(0,0)$。初始位置 $(300\sqrt{2}, -300\sqrt{2}) \approx (424.3, -424.3)$。
2. $t$ 小时后坐标为 $(424.3, 20t - 424.3)$。
3. 距离平方 $d^2 = 424.3^2 + (20t - 424.3)^2 \le 450^2$。
4. 解得 $(20t - 424.3)^2 \le 22470 \Rightarrow |20t - 424.3| \le 149.9$。
5. $13.7 \le t \le 28.7$。
结论： 约 $13.7$ 小时后受影响，影响时间约为 $15.0$ 小时。

证明函数 $f(x) = -\frac{2}{x}$ 在区间 $(-\infty, 0)$ 上单调递增。

证明过程：
1. 任取 $x_1, x_2 \in (-\infty, 0)$ 且 $x_1 < x_2$。
2. 作差：$f(x_1) - f(x_2) = -\frac{2}{x_1} - (-\frac{2}{x_2}) = \frac{2}{x_2} - \frac{2}{x_1} = \frac{2(x_1 - x_2)}{x_1x_2}$。
3. 定号：由 $x_1 < x_2$ 知 $x_1 - x_2 < 0$；由 $x_1, x_2 < 0$ 知 $x_1x_2 > 0$。
4. 结论：$f(x_1) - f(x_2) < 0$，即 $f(x_1) < f(x_2)$。故函数在 $(-\infty, 0)$ 上单调递增。

圆柱形木头半径 $25\text{ cm}$，锯成矩形木料。一边长为 $x$，面积 $y$ 表示为 $x$ 的函数。

解题步骤：
1. 矩形对角线即圆柱直径，$D = 50\text{ cm}$。
2. 矩形另一边为 $\sqrt{50^2 - x^2}$。
3. 面积 $y = x\sqrt{2500 - x^2}$。
4. 注意定义域：$x \in (0, 50)$。